QC - Nadzorujte kvantno računanje z enotnimi operaterji, interferenca in zapletenost

Foto Sagar Dani

Super. Pravkar smo zaključili 2. del na Qubitu (Quantum bit - temeljni gradnik kvantnega računanja). Kako lahko to nadziramo? Za razliko od klasičnega računanja na kbitih ne uporabljamo logičnih operacij ali običajne aritmetike. V kvantnem računanju ni "medtem ko stavek" ali "izjava veje". Namesto tega razvijamo enotne operaterje za manipulacijo s kitiji z načelom interference v kvantni mehaniki. Zdi se mi fajn, a dejansko zelo preprost. Pregledali bomo koncept enotnih izvajalcev. Kot stransko opombo bomo preučili njen odnos s Schrodingerjevo enačbo, zato ne oblikujemo koncepta proti naravi. Končno gledamo v zaplete, mistični kvantni pojav.

Kvantna vrata

V klasičnih računalnikih uporabljamo osnovne logične operaterje (NOT, NAND, XOR, AND, OR) na bitov za sestavljanje kompleksnih operacij. Sledi na primer seštevek z enim bitjem s prenosom.

Kvantni računalniki imajo popolnoma različne osnovne operaterje, imenovane kvantna vrata. Obstoječega programa C ++ ne zaganjamo v kvantnem računalniku. Oba imata različne operaterje in kvantno računanje zahteva različne algoritme, da jih lahko izkoristijo. Pri kvantnem računanju gre za manipulacijo s kitiji, zapletanje in merjenje. Vrnimo se k Blochovi sferi. Konceptualno v kvantnih računskih operacijah manipulirajo Φ in θ superpozicije za premikanje točk po površini enotne sfere.

Matematično gledano je superpozicija manipulirana z linearnim operatorjem U v obliki matrice.

Za en kbit je operator preprosto matrica 2 × 2.

Schrodingerjeva enačba (neobvezno)

Narava se zdi naivno preprosta! Matematika je le linearna algebra, ki se je učimo v srednji šoli. Med meritvami stanja manipulirajo linearni operaterji z uporabo matričnega množenja. Če merimo, se superpozicija sesede. Ironično je, da je linearnost veliko razočaranje za ljubitelje znanstvene fantastike. To je splošna lastnost kvantne dinamike. V nasprotnem primeru so časovna potovanja ali potovanja hitrejša od svetlobe. Če začnemo s tem linearnim operaterjem (natančneje, enotnim operaterjem), lahko dobimo Schrodingerjevo enačbo, temelj kvantne mehanike pri opisovanju razvoja stanj v kvantni mehaniki. Z nasprotnega vidika Schrodingerjeva enačba zaključuje linearnost narave.

Vir

Tu lahko Schrodingerjevo enačbo zapišemo kot

kjer je H hermičan. Pokaže, kako se stanja v naravi linearno razvijajo.

Enačba je linearna, torej če sta both1 in ψ2 veljavni rešitvi za Schrodingerjevo enačbo,

njegova linearna kombinacija je splošna rešitev enačbe.

Če sta | 0⟩ in | 1⟩ možni stanji sistema, bo njegova linearna kombinacija njegovo splošno stanje - to je načelo superpozicije v kvantnem računanju.

Enota

Naš fizični svet ne omogoča vseh možnih linearnih operaterjev. Upravljavec mora biti enoten in izpolnjevati naslednje zahteve.

kjer je U † transponiran, kompleksen konjugat U. Na primer:

Matematično enotni operater ohranja norme. To je čudovita lastnost, da ohranimo skupno verjetnost, ki je enaka ena po državni pretvorbi, in ohranimo superpozicijo na površini enotne sfere.

Če pogledamo rešitev Schrodingerjeve enačbe spodaj, narava spoštuje isto enotno pravilo. H je hermičan (transponiran kompleksni konjugat hermitijcev je enak samemu sebi). Pomnožitev operaterja s svojim transponiranim kompleksnim konjugatom je enaka matriki identitete.

Sledi primer H, kjer je v smeri z enotno magnetno polje E₀.

Uporaba enotne operacije za | ψ⟩ povzroči vrtenje v osi z.

Kakšen pa je resnični pomen enotnosti v resničnem svetu? Pomeni, da so operacije reverzibilne. Za vsako možno operacijo obstaja še ena, ki lahko razveljavi dejanje. Tako kot gledate film, ga lahko tudi predvajate naprej, narava pa omogoča, da njegov kolega U † predvaja video nazaj. Dejansko morda ne boste opazili, ali video predvajate naprej ali nazaj. Skoraj vsi fizični zakoni so časovno reverzibilni. Nekaj ​​izjem vključuje merjenje kvantne dinamike in drugi zakon termodinamike. Pri načrtovanju kvantnega algoritma je to zelo pomembno. Ekskluzivno operacijo ALI (XOR) v klasičnem računalniku ni mogoče povratiti. Informacije so izgubljene. Glede na izhod 1, ne moremo razlikovati, ali je izvirni vhod (0, 1) ali (1, 0).

Pri kvantnem računalništvu operaterje imenujemo kvantna vrata. Ko oblikujemo kvantna vrata, poskrbimo, da so enotna, tj. Obstajala bodo še ena kvantna vrata, ki lahko stanje povrnejo v prvotno stanje. To je pomembno

če je operater enoten, ga lahko izvajamo v kvantnem računalniku.

Ko je enotnost dokazana, inženirji ne bi smeli imeti težav, da bi jo vsaj teoretično izvedli. Na primer, računalniki IBM Q, sestavljeni iz superprevodnih vezij, uporabljajo mikrovalovne impulze z različnimi frekvencami in trajanjem za krmiljenje kubic po površini Blochove krogle.

Da bi dosegli enotnost, včasih izdamo del vložka, da izpolnimo to zahtevo, kot je spodnja, čeprav se zdi odveč.

Poglejmo eno najpogostejših kvantnih vrat, vrata Hadamarda, ki jih linearni operator definira kot naslednjo matrico.

ali v zapisu Dirac

Ko operaterja uporabimo za stanje navzgor ali navzdol, spremenimo superpozicije v:

Če se izmeri, imata oba enaka možnost, da se vrtita ali zavrtata. Če vrata ponovno uporabimo, se vrne v prvotno stanje.

Vir

tj. transponirani konjugat Hadamarda je sam Hadamardov prehod.

Ko uporabimo UU †, se povrne na prvotni vhod.

Zato so vrata Hadamarda enotna.

Kvantno računanje temelji na motnjah in prepletih. Čeprav lahko kvantno računanje matematično razumemo, ne da bi razumeli te pojave, pa to hitro pokažemo.

Vmešavanje

Valovi se med seboj motijo ​​konstruktivno ali destruktivno. Izhod lahko na primer povečamo ali sploščimo, odvisno od relativne faze vhodnih valov.

Kakšna je vloga vmešavanja v kvantno računanje? Naredimo nekaj poskusov.

Interferometer Mach Zehnder (vir)

V prvem poskusu pripravimo vse vhodne fotone, da imajo stanje polarizacije | 0⟩. Ta tok polariziranih fotonov se enakomerno razdeli s položajem B cepilnika B pri 45 °, to je, da se žarek razdeli na dve pravokotno polarizirani luči in izstopa v ločenih poteh. Nato uporabimo ogledala za odsev fotonov na dva ločena detektorja in merimo intenzivnost. Z vidika klasične mehanike se fotoni razdelijo na dve ločeni poti in enakomerno udarijo v detektorje.

V drugem zgornjem poskusu smo postavili še en cepilnik pred detektorji. Po intuiciji razdelilniki žarka delujejo neodvisno drug od drugega in svetlobni tok razdelijo na dve polovici. Oba detektorja naj zaznata polovico svetlobnih žarkov. Verjetnost, da foton doseže detektor D₀ z 1-potjo rdeče je:

Skupna možnost, da foton doseže D₀ je 1/2 s 1-poti ali 0-poti. Tako oba detektorja zaznata polovico fotonov.

A to se ne ujema z eksperimentalnim rezultatom! Le D₀ zazna svetlobo. Modeliramo prehod stanja za razdelilnik žarka s Hadamardovimi vrati. Torej za prvi poskus je stanje fotona po cepilniku

Ko se izmeri, jih bo polovica | 0⟩, polovica pa | 1⟩. Svetlobni žarki so enakomerno razdeljeni na dve različni poti. Tako se bodo naša vrata Hadamarda ujemala s klasičnim izračunom. A poglejmo, kaj se je zgodilo v drugem poskusu. Kot smo že pokazali, če pripravimo vse vhodne fotone na | 0⟩ in jih prestavimo v dve Hadamardovi poti, bodo vsi fotoni spet | 0⟩. Ko bo merjen, bo svetlobni žarek zaznal le D₀. Noben ne bo dosegel D₁, dokler ne opravimo nobene meritve pred obema detektorjema. Poskusi potrjujejo, da je kvantni izračun pravilen, ne klasični izračun. Poglejmo, kako igra vmešavanje v drugi Hadamardovi poti.

Kot je prikazano spodaj, sestavni deli iste računalniške osnove konstruktivno ali destruktivno motijo ​​drug drugega, da dobimo pravilen eksperimentalni rezultat.

Lahko pripravimo vhodni fotonski žarek, ki bo | 1⟩, in ponovno izračunamo izračun. Stanje po prvem cepilniku se razlikuje od prvotnega za fazo π. Če zdaj merimo, bosta oba eksperimenta enaka meritvi.

Ko pa znova uporabimo vrata Hadamarda, ena ustvari | 0⟩ in ena ustvari | 1⟩. Vmešavanje ustvarja zapletene možnosti.

Naj naredim še en zabaven eksperiment, ki ima zelo pomembno posledico kibernetske varnosti.

Če po prvem cepilniku postavimo drugega detektorja Dx, poskus pokaže, da bosta oba detektorja zaznala polovico fotonov. Se to ujema z izračunom kvantne mehanike? V spodnji enačbi, ko dodamo meritev po prvem cepilniku, v superpoziciji prisilimo kolaps. Končni rezultat bo drugačen kot ena brez dodatnega detektorja in se bo ujemal z eksperimentalnim rezultatom.

Narava nam pravi, da če veste, po kateri poti se vozi foton, bosta oba detektorja zaznala polovico fotonov. Pravzaprav lahko to dosežemo samo z enim detektorjem na eni od poti. Če pred obema detektorjema ni opravljena nobena meritev, se vsi fotoni končajo v detektorju D₀, če je foton pripravljen na | 0⟩. Spet nas intuicija pripelje do napačnega sklepa, medtem ko kvantne enačbe ostanejo zaupljive.

Ta pojav ima eno kritično posledico. Dodatna meritev uniči prvotni poseg v našem primeru. Stanje sistema se po meritvi spremeni. To je ena ključnih motivacij kvantne kriptografije. Algoritem lahko oblikujete tako, da če heker prestreže (meri) sporočilo med vami in pošiljateljem, lahko zazna takšen vdor ne glede na to, kako nežno je lahko merjenje. Ker bo vzorec meritve drugačen, če ga prestrežemo. Teorem o kloniranju v kvantni mehaniki trdi, da kvantnega stanja ni mogoče natančno podvojiti. Tako heker ne more podvajati in poslati tudi izvirnega sporočila.

Nad kvantno simulacijo

Če ste fizik, lahko izkoristite interferenčno vedenje v kvantnih vratih, da simulirate enak poseg v atomske svetove. Klasične metode delujejo s teorijo verjetnosti z vrednostmi, ki so večje ali enake nič. Predpostavlja neodvisnost, ki v poskusih ne drži.

Kvantni mehanizem trdi, da je ta model napačen in uvaja model s kompleksnimi in negativnimi številkami. Namesto da bi uporabil teorijo verjetnosti, za modeliranje težave uporablja interferenco.

Kakšne koristi torej prinaša nefizik? Vmešavanje se lahko obravnava kot enak mehanizem kot enotni operater. V kvantnem računalniku ga je mogoče enostavno izvajati. Matematično je enotni operator matrika. Ko se število kubitov povečuje, dobimo eksponentno rast koeficientov, s katerimi se lahko igramo. Ta enotni operater (vmešavanje v oči fizika) nam omogoča manipuliranje vseh teh koeficientov v eni sami operaciji, ki nam odpira vrata za obsežne manipulacije s podatki.

Zapletanje

Na splošno znanstveniki verjamejo, da brez zapletenosti kvantni algoritmi ne morejo prevladati nad klasičnimi algoritmi. Na žalost razlogov ne razumemo dobro, zato ne vemo, kako algoritem prilagoditi tako, da izkoristi svoj polni potencial. Zato se pri uvajanju kvantnega računanja pogosto omenja zapletanje, vendar ne veliko pozneje. Zaradi tega bomo razložili, kaj je v tem razdelku zapletenost. Upajte, da ste znanstvenik, da razbijete skrivnost.

Razmislite o superpoziciji 2-kbitov.

kjer | 10> pomeni, da sta dva delca v spinu navzgor in navzgor.

Upoštevajte naslednje sestavljeno stanje:

Ali lahko sestavljeno stanje razdelimo nazaj na dve posamezni stanji,

Ne moremo, ker zahteva:

Kvantna mehanika prikazuje en neintuitiven koncept. Verjamemo, da v klasični mehaniki razumevanje celotnega sistema dosežemo z dobrim razumevanjem vseh podkomponent. Toda v kvantni mehaniki

Kot je prikazano že prej, lahko sestavimo stanje sestavljenega stanja in naredimo napovedi meritev brezhibno.

Vendar je ne moremo opisati ali razumeti kot dve neodvisni komponenti.

Ta scenarij si predstavljam, ko se je par poročil 50 let. Vedno se bodo strinjali, kaj storiti, vendar odgovorov ne najdete, če jih obravnavajo kot ločene osebe. To je preveč poenostavljen scenarij. Obstaja veliko možnih stanj prepletanja

in veliko težje jih bo opisati, ko se bo število kubic povečalo. Pri izvajanju kvantnih operacij vemo, kako so komponente korelirane (zapletene). Toda pred kakršno koli meritvijo ostanejo točne vrednosti odprte. Entanglement ustvarja korelacije, ki so mnogo bogatejše in verjetno veliko težje, da bi učinkovito posnemali klasični algoritem.

Naslednji

Zdaj vemo, kako manipulirati s qubits z enotnimi operacijami. Toda za tiste, ki jih zanimajo kvantni algoritmi, bi morali najprej vedeti, kaj je omejitev. V nasprotnem primeru boste morda spregledali, kaj je pri kvantnem računanju težko. Toda za tiste, ki želijo najprej vedeti več o kvantnih vratih, lahko preberete drugi članek pred prvim.